Trójkąty Pitagorejskie i inne trójkąty prostokątne w LEGO.

Składnica wiedzy

Moderatorzy: Mod Team, Mod Team

Autor
Wiadomość
Awatar użytkownika
--pg--
VIP
Posty: 221
Rejestracja: 2015-07-13, 19:30
Lokalizacja: Kraków

Trójkąty Pitagorejskie i inne trójkąty prostokątne w LEGO.

#1 Post autor: --pg-- »

Kod: Zaznacz cały

Zabrałem się za opisanie zastosowania trójkątów Pitagorejskich w budowaniu z LEGO. Tekst się rozrastał w miarę pisania i osiągnął gigantyczną długość. Niewielką część przedstawionych zależności stosowałem w prowadzonych "warsztatach" na wystawach, o czym opowiadam we właściwym momencie. Żeby ułatwić odwoływanie się do tekstu w komentarzach, ponumerowałem cztery główne części oraz wszystkie zdjęcia i tabele. Przez sqrt(x) rozumiem pierwiastek (stopnia drugiego) z liczby x, np. sqrt(25)=5. Miłej lektury!
Niniejszy tekst o trójkątach Pitagorejskich i innych trójkątach prostokątnych budowanych z kocków LEGO może stanowić dla osoby budującej z klocków inspirację do urozmaicenia MOC-y poprzez stabilne budowanie na ukos względem linii wyznaczonych przez study, a dla osób znających możliwości na pograniczu geometrii i klocków – relaksującą lekturę. O matematycznych zagadnieniach opowiem oczywiście w sposób elementarny. Dla urozmaicenia będę podpierał się istniejącymi rozwiązaniami w oryginalnych zestawach LEGO. Zaczynajmy!


1. Najbardziej znana trójka Pitagorejska.

Każdy z nas po edukacji szkolnej jest w stanie wymienić trójkę Pitagorejską: 3, 4, 5, czyli trzy liczby naturalne będące bokami trójkąta prostokątnego, a więc spełniające zależność z twierdzenia Pitagorasa: a^2 + b^2 = c^2. W podanym przykładzie boki o długościach 3 i 4 są przyprostokątnymi, a bok o długości 5 jest przeciwprostokątną. Korzystając z podobieństwa trójkątów, na podstawie podanego przykładu można bez trudu podać nieskończenie wiele układów liczb naturalnych stanowiących długości boków kolejnych trójkątów prostokątnych: powiększając każdy z boków dwa razy, dostaje się trójkąt o bokach 6, 8, 10; po trzykrotnym powiększeniu mamy 9, 12, 15, itd.
Realizacja tych trójkątów klockami systemowymi wygląda następująco:
Obrazek
Rys. 1.1.
a za pomocą LEGO Technic jak poniżej:
Obrazek
Rys. 1.2.
Zwróćmy uwagę, że budowanie trójkąta o bokach o długościach 3, 4, 5 studów wymaga użycia bricków (ewentualnie belek) o długościach 4, 5 i 6 studów z tego względu, że wierzchołek trójkąta wypada na środku studa podczas używania bricka, a w środku otworu podczas używania belki:
Obrazek
Rys. 1.3.
Przeciwprostokątną trójkątów większych od wyjściowego można podeprzeć co pięć studów zarówno w budowie brickami:
Obrazek
Rys. 1.4.
jak i w LEGO Technic:
Obrazek
Rys. 1.5.
co wynika z istnienia następujących trójkątów.
Obrazek
Rys. 1.6.
Obok wspomnianych trójkątów podobnych powstających przez powiększanie wyjściowego trójkąta można zbudować egzotyczny trójkąt o bokach o długościach 1,5, 2 i 2,5 studów, używając tzw. jumpera:
Obrazek
Rys. 1.7.
Realizacja takiego trójkąta wygląda następująco:
Obrazek
Rys. 1.8.
i zawdzięczamy ją możliwości wpięcia do pustego w środku studa znajdującej się na spodzie klocka rurki. W związku z tym można podpierać co kawałek przeciwprostokątną w trójkątach przedstawionych na początku:
Obrazek
Rys. 1.9.

Istnieje jeszcze drugi sposób uzyskania omwianej serii trójkątów, mianowicie za pomocą zawiasów.
Obrazek
Rys. 1.10.
Wierzchołki trójkąta leżą wówczas na środku między czterema studami.
Obrazek
Rys. 1.11.
Geometria trójkąta o bokach o długościach 3, 4, 5 studów występuje również w zgiętych belkach LEGO Technic:
Obrazek Obrazek Obrazek
Rys. 1.12abc.
Pierwsza z pokazanych ma ten trójkąt wkomponowany w najbardziej naturalny sposób: gdy część krótszą ułoży się poziomo lub pionowo, część dłuższa będzie stanowić przeciwprostokątną w trójkącie:
Obrazek
Rys. 1.13.
Z trójkątem 3, 4, 5 i z podobnymi do niego spotykamy się w zestawach firmowych, w tym bardzo często w LEGO Technic, gdzie rama musi spięta na sztywno. Trójkąt o bokach o długościach 3, 4, 5 studów odnajdziemy na przykład w:
* przedniej szybie w 42075, Fire Responder:
Obrazek
Rys. 1.14.
* mocowaniu nadkoli do reszty pozajdu w 42079, Heavy Duty Forklift:
Obrazek
Rys. 1.15.
* rusztowaniu z białego płaskiego liftarma pod platformą dla helikoptera w 42064, Ocean Explorer:
Obrazek
Rys. 1.16.
* ułożeniu ukośnego elementu (tile’a o długości 6) na tylnej części skrzydła w 75154, TIE Striker:
Obrazek
Rys. 1.17.
Trójkąt o bokach o długościach 6, 8, 10 studów powstaje przykładowo podczas budowania:
* przedniej szyby w 42069, Extreme Adventure:
Obrazek
Rys. 1.18.
* ukośnego wzmocnienia czarną belką wewnątrz podnoszonego elementu w 42042, Crawler Crane:
Obrazek
Rys. 1.19.
* ukośnych belek po dwóch stronach siłowników podnoszących bom w dźwigach 42009 i 42082:
Obrazek
Rys. 1.20.
Trójkąt o bokach o długościach 9, 12, 15 studów pojawia się w stelażu za siedzeniami w 42056, Porsche 911 GT3 RS:
Obrazek
Rys. 1.21.
Zauważmy, że spięcie dwóch ukośnych części stelaża znajduje się w jednej trzeciej przeciwprostokątnej, co nawiązuje do dyskusji dotyczącej punktów, w których większe trójkąty można podpierać.

Wśród klocków serii Technic znajdziemy jeszcze dwie części zaprojektowane z myślą o omawianych trójkątach. Pierwszą z nich jest następujący panel:
Obrazek
Rys. 1.22.
Odległość między otworami na piny jest równa 5 studów (licząc między środkami otworów), a ułożenie panelu jako przeciwprostokątnej powoduje powstanie zaokrąglonego rogu, np. w spojlerze 42077, Rally Car
Obrazek
Rys. 1.23.
Warto jeszcze zwrócić uwagę na ćwiartkę koła zębatego wprowadzonego w zestawie 42055, Bucket Wheel Excavator:
Obrazek
Rys. 1.24.
Cztery takie koła zębate tworzą okrąg o średnicy 21 studów, a mierząc między środkami otworów – o średnicy 20 studów. Otwory na pin bliższe otworom na oś ułożone są w taki sposób, aby generować trójkąty o bokach o długościach 6, 8, 10 studów, gdzie przeciwprostokątna trójkąta jest jednocześnie promieniem koła zębatego:
Obrazek
Rys. 1.25.
Dzięki temu we wspomnianym zestawie 42055 pierwsze cztery takie klocki można przypiąć do ramy w ośmiu miejscach czarnymi pinami i w czterech miejscach czerwonymi ośkami:
Obrazek
Rys. 1.26.
2. Inne trójkąty Pitagorejskie.

Układ liczb 3, 4, 5 nie jest jedyną pierwotną (czyli w dużym skrócie nieskracalną) trójką Pitagorejska. Kolejne takie układy to:

Kod: Zaznacz cały

   (3, 4, 5)         (5, 12, 13)         (8, 15, 17)         (7, 24, 25)
(20, 21, 29)        (12, 35, 37)         (9, 40, 41)        (28, 45, 53)
(11, 60, 61)        (16, 63, 65)        (33, 56, 65)        (48, 55, 73)
(13, 84, 85)        (36, 77, 85)        (39, 80, 89)        (65, 72, 97)
Tab. 2.1.
Takich układów jest nieskończenie wiele, w powyższym zestawieniu podano wszystkie, w których największa z liczb jest mniejsza niż 100. Aby wygenerować wszystkie pierwotne trójki Pitagorejskie, do wzorów:

Kod: Zaznacz cały

a = m^2 - n^2		b = 2*m*n		c = m^2 + n^2
Tab. 2.2.
należy podstawiać liczby całkowite dodatnie m i n, względnie pierwsze (czyli w dużym skrócie nieskracalne), dające sumę nieparzystą, przy czym m ma być większa od n. Przykładowo, układ (3, 4, 5) powstaje po podstawieniu m=2 i n=1, natomiast podstawienie m=5 i n=2 prowadzi do układu (20, 21, 29), przy czym a=21 i b=20. Podstawianie liczb całkowitych dodatnich m i n innych niż opisane (ale z zachowaniem warunku m>n) daje trójki Pitagorejskie niebędące pierwotnymi, np. m=5, n=3 generuje trójkę (16, 30, 34), czyli podwojoną (8, 15, 17).
Budując z klocków LEGO, bierzemy pod uwagę wszystkie trójkąty Pitagorejskie powstające z pierwotnych trójek Pitagorejskich oraz trójkąty do nich podobne powiększone całkowitą lub połówkową liczbę razy. Oto kilka przykładów: na czerwono trójkąt o bokach o długościach 5, 12 i 13 studów; na niebiesko trójkąt o bokach o długościach 16, 30 i 34 studów; na żółto trójkąt o bokach o długościach 10, 10,5 i 14,5 studów (czyli połówka z 20, 21, 29):
Obrazek
Rys. 2.1.
Tak w LEGO Technic wygląda trójkąt o bokach o długościach 12, 35 i 37 studów:
Obrazek
Rys. 2.2.
W końcu na zawiasach mamy trójkąt wynikający z układu (7, 24, 25):
Obrazek
Rys. 2.3.
Takie trójkąty zdarzają się rówież w zestawach LEGO, mianowicie trójkąt o bokach o długościach 5, 12, 13 studów można znaleźć:
* w kolorowym łączeniu kokpitu ze statkiem w 75192, Millennium Falcon:
Obrazek
Rys. 2.4.
* w ukośnym podparciu skrzydeł w 42040, Fire Plane:
Obrazek
Rys. 2.5.
Przypuszczam, że może się przydać tabela pokazująca miary kątów (w stopniach) w tych trójkątach.

Kod: Zaznacz cały

  trójka                  mniejszy              większy
Pitagorejska              kąt ostry            kąt ostry
(15,112,113)                 7,63                82,37
(13, 84, 85)                 8,80                81,20
(11, 60, 61)                10,39                79,61
(20, 99, 101)               11,42                78,58
(9, 40, 41)                 12,68                77,32
(16, 63, 65)                14,25                75,75
(7, 24, 25)                 16,26                73,74
(12, 35, 37)                18,92                71,08
(5, 12, 13)                 22,62                67,38
(36, 77, 85)                25,06                64,94
(39, 80, 89)                25,99                64,01
(8, 15, 17)                 28,07                61,93
(33, 56, 65)                30,51                59,49
(28, 45, 53)                31,89                58,11
(60, 91, 109)               33,40                56,60
(3, 4, 5)                   36,87                53,13
(48, 55, 73)                41,11                48,89
(65, 72, 97)                42,08                47,92
(20, 21, 29)                43,60                46,40
Tab. 2.3.
Dla porównania kąty w klockach Wedge Plate, miara również w stopniach:

Kod: Zaznacz cały

        Nazwa kolcka              większy             mniejszy              tangensy
                                 kąt ostry            kąt ostry               kątów
Wedge Plate 3x3                    45,00                45,00                1; 1
Wedge Plate 2x2, left/right        63,43                26,57                2; 1/2
Wedge Plate 3x2, left/right        71,57                18,43                3; 1/3
Wedge Plate 4x2, left/right        75,96                14,04                4; 1/4
Wedge Plate 12x3, left/right       80,54                 9,46                6; 1/6
Wedge Plate 4x9                    84,29                 5,71               10; 1/10
Tab. 2.4.
Tu popełnię małą dygresję, na wystawie w Wolsztynie 2018 i na wystawie w Pszczynie 2018 zapraszałem starsze dzieci zwiedzające wystawę i kilku klubowiczów do budowy trójkątów prostokątnych. W pełnej wersji uczestnik wybierał m oraz n, podstawiał do wzoru, a następnie budował trójkąt prostokątny o obliczonych długościach boków. Sugerowałem branie m większego niż 6, aby ten trójkąt wychodził przyzwoitej wielkości. Gdy trafiła się trochę młodsza osoba, która też chciała wybudować, podawałem wymiary samodzielnie, omijając rachunek.


3. Inne trójkąty prostokątne.

Oczywiście trójkąt prostokątny nie musi mieć wszystkich boków o długościach całkowitych. Klocki LEGO mające rządek studów nie służą do budowania długości niewymiernych, są jednak przypadki, że i takie trójkąty powstają. Najczęściej mamy do czynienia z trójkątami, w których dwa boki mają długość całkowitą – i te boki jesteśmy w stanie zbudować, a jeden niewymierną – i ten bok nie jest fizycznie budowany. Patrząc inaczej na układ studów, można znaleźć szereg liczb niewymiernych:
Obrazek
Rys. 3.1.
Obrazek
Rys. 3.2.
Najprościej do podanej długości niewymiernej dobudować trójkąt w taki sposób, aby powstał deltoid z dwoma kątami prostymi:
Obrazek
Rys. 3.3.
Obrazek
Rys. 3.4.
Można to realizować w bardzo prosty sposób, tutaj na przykładzie trójkąta o bokach o długości 1, 5, sqrt(26) studów:
Obrazek
Rys. 3.5.
Dla niektórych liczb niewymiernych, np. przedstawionej powyżej sqrt(26), jest to jedyna możliwość, inne niewymierne mogą stanowić długość przeciwprostokątnej w dwóch nieprzystających (czyli nieidentycznych) trójkątach. Przykłady takich trójkątów prostokątnych (tj. mających przyprostokątne o długościach całkowitych i przeciwprostokątną o długości niewymiernej) wypisano poniżej:

Kod: Zaznacz cały

 trójkąt pierwszy         trójkąt drugi          (trójkąt trzeci)
1, 7, 5sqrt(2)          5, 5, 5sqrt(2)
1, 8, sqrt(65)          4, 7, sqrt(65)
2, 9, sqrt(85)          6, 7, sqrt(85)
2, 11, 5sqrt(5)         5, 10, 5sqrt(5)        
3, 11, sqrt(130)        7, 9, sqrt(130)
1, 12, sqrt(145)        8, 9, sqrt(145)
1, 13, sqrt(170)        7, 11, sqrt(170)
4, 13, sqrt(185)        8, 11, sqrt(185)
3, 14, sqrt(205)        6, 13, sqrt(205)
5, 14, sqrt(221)        10, 11, sqrt(221)
9, 13, 5sqrt(10)        5, 15, 5sqrt(10)
3, 16, sqrt(265)        11, 12, sqrt(265)
1, 17, sqrt(290)        11, 13, sqrt(290)
4, 17, sqrt(305)        7, 16, sqrt(305)
1, 18, 5sqrt(13)        6, 17, 5sqrt(13)         10, 15, 5sqrt(13)
7, 17, 13sqrt(2)        13, 13, 13sqrt(2)        
2, 19, sqrt(365)        13, 14, sqrt(365)
3, 19, sqrt(370)        9, 17, sqrt(370)
4, 19, sqrt(377)        11, 16, sqrt(377)
7, 19, sqrt(410)        11, 17, sqrt(410)        
8, 19, 5sqrt(17)        13, 16, 5sqrt(17)        5, 20, 5sqrt(17) 
1, 21, sqrt(442)        9, 19, sqrt(442)
2, 21, sqrt(445)        11, 18, sqrt(445)
9, 20, sqrt(481)        15, 16, sqrt(481)
1, 22, sqrt(485)        14, 17, sqrt(485)
3, 22, sqrt(493)        13, 18, sqrt(493)
8, 21, sqrt(505)        12, 19, sqrt(505)
1, 23, sqrt(530)        13, 19, sqrt(530)
2, 23, sqrt(533)        7, 22, sqrt(533)
4, 23, sqrt(545)        16, 17, sqrt(545)
6, 23, sqrt(565)        9, 22, sqrt(565)
7, 23, 17sqrt(2)        17, 17, 17sqrt(2) 
9, 23, sqrt(610)        13, 21, sqrt(610)
2, 25, sqrt(629)        10, 23, sqrt(629)
11, 23, 5sqrt(26)       17,19, 5sqrt(26)         5, 25, 5sqrt(26) 
Tab. 3.1.
Dzięki równej przeciwprostokątnej w dwóch trójkątach można budować następująco (przykład wykorzystuje pierwszą parę)
Obrazek
Rys. 3.6.
albo następująco:
Obrazek
Rys. 3.7.
W podanych przykładach można jeszcze podpierać klocek ułożony ukośnie w kilku miejscach i odnaleźć trójkąty, o których była mowa w pierwszej części:
Obrazek
Rys. 3.8.
Obrazek
Rys. 3.9.
Wszystko, co zostało opisane, można również zrobić z zawiasami:
* na bazie deltoidu z dwoma kątami prostymi:
Obrazek
Rys. 3.10.
gdzie deltoidy wyglądają następująco:
Obrazek
Rys. 3.11.
* na bazie wspólnej przeciwprostokątnej dwóch nieprzystających trójkątów prostokątnych, tutaj bohaterami są trójkąty z czwartego wiersza z tabeli:
Obrazek
Rys. 3.12.
a tu z szóstego:
Obrazek
Rys. 3.13.
Te same konstrukcje wykonane w LEGO Technic wyglądają dość elementarnie:
* deltoid z dwoma kątami prostymi:
Obrazek
Rys. 3.14.
* wspólna przeciwprostokątna dwóch nieprzystających trójkątów prostokątnych (tutaj bohaterami są trójkąty z czwartego wiersza z tabeli):
Obrazek
Rys. 3.15.
Teraz można pokazać matematycznie, co się stanie, gdy z jednej strony zapniemy zawias, a drugą będziemy próbowali przypiąć do studa. Jedna z realizacji wygląda następująco:
Obrazek
Rys. 3.16.
Dostajemy tu również dwa trójkąty o wspólnej przeciwprostokątnej:
Obrazek
Rys. 3.17.
Zauważmy, że długości przedstawione w tym przykładzie stanowią w tabeli ósmą linię od dołu pomnożoną przez czynnik 1/2. Z tego względu zrobiłem aż tak długą tabelę, bo w tego typu zastosowaniach wzięcie dużych liczb powoduje konstrukcję niedużych rozmiarów. Do każdej innej tego typu konstrukcji należy wziąć jedną linię z tabeli. Jeżeli chcemy budować bez jumperów, trzeba wziąć linię, w której wszystkie cztery liczby całkowite są nieparzyste – wtedy po podzieleniu przez 2 dostatniemy czterokrotnie połówki, jak w powyższym przykładzie.
Wybranie linii z parzystymi liczbami całkowitymi wymusza użycie jumperów lub wpinanie w nietypowe miejsca na spodzie klocka, np. linia z pierwiastkiem 365 po podzieleniu przez 2 daje dwa trójkąty realizowane w następującej konstrukcji:
Obrazek
Rys. 3.18.
Obrazek
Rys. 3.19.
Ten typ łączenia klocków znajduje się na zewnętrznych stronach baterii słonecznych w 75211, Imperial TIE Fighter:
Obrazek
Rys. 3.20.
Wykorzystywane są trójkąty z przeciwprostokątną o długości sqrt(442).

Dla osoby budującej interesujący jest kąt ułożenia ukośnego klocka. Można dowieść ścisłym rozumowaniem matematycznym, że zarówno w przykładach z deltoidami jak i w przykładach z trójkątami prostokątnymi o wspólnej przeciwprostokątnej ułożenie ukośnych klocków jest zawsze pod kątem, który możemy znaleźć w jednym z trójkątów Pitagorejskich.
Bezpośrednia z rachunków w dowodzie wynika, że chcąc poznać miarę kąta w przykładach z deltoidem, należy ustalić długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego i podstawić do wzorów w miejsce m i n podanych w poprzednim podrozdziale. W pierwszym pokazanym przykładzie, dla przypomnienia:
Obrazek
Rys. 3.21.
długości przyprostokątnych są równe 7 i 2, co daje po podstawieniu daje trójkę Pitagorejską (28, 45, 53) i kąty 31,89[o] lub 58,11[o] w zależności, do którego niebieskiego boku mierzyć. Okazuje się, że nie trzeba budować dużego trójkąta zajmującego kilka płyt bazowych, żeby wygenerować kąty tego trójkąta, wystarczy przestrzeń 10 na 6 studów do wygenerowania takiego nachylenia. W szczególności kąt z najprostszego trójkąta Pitagorejskiego występuje we wszystkich ukośnych fragmentach trzech konstrukcji:
Obrazek
Rys. 3.22.
Drugim wnioskiem z dowodu jest następująca tabela wskazująca powstające kąty dla każdej pary trójkątów o wspólnej przeciwprostokątnej. Przed analizowaniem tabeli należy zwrócić uwagę, że każdy układ może powodować powstanie dwóch różnych kątów w zależności od tego, jak oba trójkąty ułożymy, przykładowo dla trójkątów z przeciwprostokątną sqrt(65) można uzyskać dwa ukośne ułożenia:
Obrazek
Rys. 3.23.

Kod: Zaznacz cały

       długości boków obu trójkątów                trójki Pitagorejskie 
                                                 generujące taki sam ukos
1, 7, 5sqrt(2)          5, 5, 5sqrt(2)           (3,4,5)          (3,4,5)
1, 8, sqrt(65)          4, 7, sqrt(65)           (5,12,13)        (3,4,5)
2, 9, sqrt(85)          6, 7, sqrt(85)           (8,15,17)        (3,4,5)
2, 11, 5sqrt(5)         5, 10, 5sqrt(5)          (7,24,25)        (3,4,5)
3, 11, sqrt(130)        7, 9, sqrt(130)          (5,12,13)        (3,4,5)
1, 12, sqrt(145)        8, 9, sqrt(145)          (3,4,5)          (20,21,29)
1, 13, sqrt(170)        7, 11, sqrt(170)         (8,15,17)        (3,4,5)
4, 13, sqrt(185)        8, 11, sqrt(185)         (12,35,37)       (3,4,5)
3, 14, sqrt(205)        6, 13, sqrt(205)         (9,40,41)        (3,4,5)
5, 14, sqrt(221)        10, 11, sqrt(221)        (5,12,13)        (8,15,17)
9, 13, 5sqrt(10)        5, 15, 5sqrt(10)         (7,24,25)        (3,4,5)
3, 16, sqrt(265)        11, 12, sqrt(265)        (28,45,53)       (3,4,5)
1, 17, sqrt(290)        11, 13, sqrt(290)        (3,4,5)          (20,21,29)
4, 17, sqrt(305)        7, 16, sqrt(305)         (11,60,61)       (3,4,5)
1, 18, 5sqrt(13)        6, 17, 5sqrt(13)         (7,24,25)        (5,12,13)
1, 18, 5sqrt(13)        10, 15, 5sqrt(13)        (33,56,65)       (3,4,5)
6, 17, 5sqrt(13)        10, 15, 5sqrt(13)        (16,63,65)       (3,4,5)
7, 17, 13sqrt(2)        13, 13, 13sqrt(2)        (5,12,13)        (5,12,13)
2, 19, sqrt(365)        13, 14, sqrt(365)        (3,4,5)          (48,55,73)
3, 19, sqrt(370)        9, 17, sqrt(370)         (12,35,37)       (3,4,5)
4, 19, sqrt(377)        11, 16, sqrt(377)        (5,12,13)        (20,21,29)
7, 19, sqrt(410)        11, 17, sqrt(410)        (9,40,41)        (3,4,5)
8, 19, 5sqrt(17)        13, 16, 5sqrt(17)        (7,24,25)        (8,15,17)
5, 20, 5sqrt(17)        13, 16, 5sqrt(17)        (36,77,85)       (3,4,5)
5, 20, 5sqrt(17)        8, 19, 5sqrt(17)         (13,84,85)       (3,4,5)
1, 21, sqrt(442)        9, 19, sqrt(442)         (5,12,13)        (8,15,17)
2, 21, sqrt(445)        11, 18, sqrt(445)        (39,80,89)       (3,4,5)
9, 20, sqrt(481)        15, 16, sqrt(481)        (12,35,37)       (5,12,13)
1, 22, sqrt(485)        14, 17, sqrt(485)        (3,4,5)          (65,72,97)
3, 22, sqrt(493)        13, 18, sqrt(493)        (8,15,17)        (20,21,29)
8, 21, sqrt(505)        12, 19, sqrt(505)        (20,99,101)      (3,4,5)
1, 23, sqrt(530)        13, 19, sqrt(530)        (28,45,53)       (3,4,5)
2, 23, sqrt(533)        7, 22, sqrt(533)         (9,40,41)        (5,12,13)
4, 23, sqrt(545)        16, 17, sqrt(545)        (60,91,106)      (3,4,5)
6, 23, sqrt(565)        9, 22, sqrt(565)         (15,112,113)     (3,4,5)
7, 23, 17sqrt(2)        17, 17, 17sqrt(2)        (8,15,17)        (8,15,17)
9, 23, sqrt(610)        13, 21, sqrt(610)        (11,60,61)       (3,4,5)
2, 25, sqrt(629)        10, 23, sqrt(629)        (12,35,37)       (8,15,17)
11, 23, 5sqrt(26)       17, 19, 5sqrt(26)        (7,24,25)        (5,12,13)
5, 25, 5sqrt(26)        11, 23, 5sqrt(26)        (16,63,65)       (3,4,5)
5, 25, 5sqrt(26)        17, 19, 5sqrt(26)        (33,56,65)       (3,4,5) 
Tab. 3.2.
Na sam koniec w ramach ciekawostki chciałbym przypomnieć, że w dobrze znanym klocku:
Obrazek
Rys. 3.24.
znajduje się niewymierna długość rozpoznawalna przez wydłużoną dziurę, ukośna część klocka ma mianowicie długość 2sqrt(2), licząc od otworu do otworu.


4. Udawanie trójkąta prostokątnego.

Jeżeli przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają całkowitą długość, a przeciwprostokątna – niewiele większą od pewnej liczby całkowitej, można udawać, że trójkąt da się zbudować, minimalnie naprężając klocki. Jeżeli przyprostokątne mierzą 10 i 15, to przeciwprostokątna ma długość 5sqrt(13), czyli w przybliżeniu 18,028, co można zaokrąglić do 18. Edytor LDD nabiera się w tym przypadku i pozwala połączyć części:
Obrazek
Rys. 4.1.
Poniższa tabela pokazuje długości przyprostokątnych, dla których przeciwprostokątna jest dłuższa od liczby całkowitej o mniej niż 0,1.

Kod: Zaznacz cały

boki trójkąta prostokątnego   przybliżona długość
                              przeciwprostokątnej
 1        5        sqrt(26)          5,099
 1        6        sqrt(37)          6,083
 1        7        5sqrt(2)          7,071
 5        5        5sqrt(2)          7,071
 1        8        sqrt(65)          8,062
 4        7        sqrt(65)          8,062
 1        9        sqrt(82)          9,055
 1       10        sqrt(101)        10,050
 1       11        sqrt(122)        11,045
 1       12        sqrt(145)        12,042
 8        9        sqrt(145)        12,042
 5       11        sqrt(146)        12,083
 1       13        sqrt(170)        13,038
 7       11        sqrt(170)        13,038
 1       14        sqrt(197)        14,036
 1       15        sqrt(226)        15,033
 1       16        sqrt(257)        16,031
 1       17        sqrt(290)        17,029
 6       16        2sqrt(73)        17,088
 1       18        5sqrt(13)        18,028
 6       17        5sqrt(13)        18,028
10       15        5sqrt(13)        18,028
 1       19        sqrt(362)        19,026
 1       20        sqrt(401)        20,025
 1       21        sqrt(442)        21,024
 9       19        sqrt(442)        21,024
 2       21        sqrt(445)        21,025
11       18        sqrt(445)        21,025
 1       22        sqrt(485)        22,023
14       17        sqrt(485)        22,023
 2       22        2sqrt(122)       22,091
 1       23        sqrt(530)        23,022
13       19        sqrt(530)        23,022
 2       23        sqrt(533)        23,087
 7       22        sqrt(533)        23,087 
Tab. 4.1.
Z kolei w tej tabeli znajdziemy długości przyprostokątnych, dla których przeciwprostokątna jest krótsza od liczby całkowitej o mniej niż 0,1.

Kod: Zaznacz cały

boki trójkąta prostokątnego     przybliżenie długość
                                przeciwprostokątnej
 4         8        4sqrt(5)          8,944
 5        13        sqrt(194)        13,928
12        12        12sqrt(2)        16,971
 6        18        6sqrt(10)        18,974
 6        19        sqrt(397)        19,925
 9        20        sqrt(481)        21,932
15        16        sqrt(481)        21,932 
Tab. 4.2.
W takim przypadku również edytor LDD przyzwala na połączenie udające trójkąt 12, 12, 12sqrt(2):
Obrazek
Rys. 4.2.
Jeżeli już decydujemy się na takie rozwiązanie w konstrukcji, najlepiej brać tylko takie trójkąty, w których długość przeciwprostokątnej jak najmniej odbiega od liczby całkowitej.

W zestawach firmowych sporą niespodzianką jest trójkąt tworzący tył kadłuba w 42025, Cargo Plane. Nigdy tych długości nie liczyłem, będąc przekonanym, że jest to któryś z większych trójkątów Pitagorejskich. Nic bardziej mylnego! Kąt prosty i wszystkie boki trójkąta są zrobione sztywno, ale ich długości to 9, 19 i 21 (licząc należycie, czyli między środkami otworów).
Obrazek
Rys. 4.3.
Przeciwprostokątna powinna mieć długość sqrt(442), czyli około 21,024, a nie 21. Mówiąc krótko: w oficjalnym zestawie LEGO zaakceptowano niewielkie (ale jednak) naprężenia. Dla porównania zostawiam jeszcze link do zdjęcia: klik.

Drugim sposobem udawania, tym razem bez naprężeń, jest zbudowanie przeciwprostokątnej o całkowitej długości niepołączonej z wierzchołkami kątów ostrych, gdy prawdziwa przekątna powinna mieć długość nieznacznie dłuższą od budowanej. Na czerwono zbudowano trójkąt o bokach 5, 5, 5sqrt(2), imitując niewymierność liczbą 7, na niebiesko – trójkąt o bokach 1, 9, sqrt(82), zaokrąglając zapisany pierwiastek za pomocą liczby 9:
Obrazek
Rys. 4.4.
Pierwsze z pokazanych przeze mnie rozwiązań spotykamy w narożnych budynkach serii Modular Buildings:
* klasycznie w 10182, Cafe Corner:
Obrazek
Rys. 4.5.
* z ułamkową przerwą przeniesioną na środek na parterze w 10232, Palace Cinema:
Obrazek
Rys. 4.6.
* klasycznie na piętrze w 10232, Palace Cinema:
Obrazek
Rys. 4.7.
Oczywiście udawanie można zrobić również w stylu połączeń z zawiasami. Te same trójkąty, co w poprzednim przykładzie, wyglądają następująco, gdy chcemy, aby narożniki normalnie wpiętych klocków celowały w środek krótszego boku klocka położonego ukośnie:
Obrazek
Rys. 4.8.
Ewentualnie możemy użyć zawiasów, zostawiając szparę tylko z jednej strony.
Obrazek
Rys. 4.9.
Wadą tego drugiego rozwiązania jest tylko jeden, niezbyt stabilny punkt oparcia znajdujący się na końcu ukośnej części.

W lewym budynku 10255, Assembly Square, znajdziemy tego typu rozwiązanie, tylko z jeszcze większą szparą, bo wynikającą z trójkąta o bokach o długościach 3, 3, 3sqrt(2), czyli w przybliżeniu 4,243 zaokrąglane do 4:
Obrazek
Rys. 4.10.
W końcu jumpery pozwalają budować z dokładnością do połowy studa, więc kolejne dwie tabele prezentują dane z trójkątami prostokątnymi, w których przyprostokątne są wielokrotnością połówki (w tym jedna jest niecałkowita, aby nie powtarzać danych z poprzedniej tabeli), a długość przeciwprostokątnej niewiele różni się od liczby całkowitej:

Kod: Zaznacz cały

  boki trójkąta prostokątnego     przybliżona długość
                                  przeciwprostokątnej
 0,5        2        0,5sqrt(17)         2,062
 0,5        3        0,5sqrt(37)         3,041
 0,5        4        0,5sqrt(65)         4,031
 2          3,5      0,5sqrt(65)         4,031
 0,5        5        0,5sqrt(101)        5,025
 0,5        6        0,5sqrt(145)        6,021
 4          4,5      0,5sqrt(145)        6,021
 2,5        5,5      0,5sqrt(145)        6,042
 0,5        7        0,5sqrt(197)        7,018
 0,5        8        0,5sqrt(257)        8,016
 3          7,5      1,5sqrt(29)         8,078
 0,5        9        2,5sqrt(13)         9,014
 3          8,5      2,5sqrt(13)         9,014
 5          7,5      2,5sqrt(13)         9,014
 0,5       10        0,5sqrt(401)       10,012
 4,5        9        4,5sqrt(5)         10,042
 0,5       11        0,5sqrt(485)       11,011
 7          8,5      0,5sqrt(485)       11,011
 3,5       10,5      3,5sqrt(10)        11,068
 0,5       12        0,5sqrt(577)       12,010
 8,5        8,5      8,5sqrt(2)         12,021
 3,5       11,5      8,5sqrt(2)         12,021
 6         10,5      1,5sqrt(65)        12,093        
 1,5       12        1,5sqrt(65)        12,093
 0,5       13        0,5sqrt(677)       13,010
 1,5       13        0,5sqrt(685)       13,086
 9          9,5      0,5sqrt(685)       13,086
 0,5       14        0,5sqrt(785)       14,009
 8         11,5      0,5sqrt(785)       14,009
 1,5       14        0,5sqrt(793)       14,080
 4         13,5      0,5sqrt(793)       14,080
 6,5       12,5      0,5sqrt(746)       14,089
 7,5       13        0,5sqrt(901)       15,008
 0,5       15        0,5sqrt(901)       15,008
 4         14,5      0,5sqrt(905)       15,042
 5,5       14        0,5sqrt(905)       15,042
 1,5       15        1,5sqrt(101)       15,075
 0,5       16        2,5sqrt(41)        16,008
10         12,5      2,5sqrt(41)        16,008
 4         15,5      2,5sqrt(41)        16,008
 1,5       16        0,5sqrt(1009)      16,070
 0,5       17        0,5sqrt(1157)      17,007
 7         15,5      0,5sqrt(1157)      17,007
 1,5       17        0,5sqrt(1165)      17,066
 9         14,5      0,5sqrt(1165)      17,066
 0,5       18        0,5sqrt(1297)      18,007 
12,5       13        0,5sqrt(1301)      18,035
 1,5       18        1,5sqrt(145)       18,062
12         13,5      1,5sqrt(145)       18,062
 4,5       17,5      0,5sqrt(1306)      18,069
 0,5       19        8,5sqrt(5)         19,007
 8,5       17        8,5sqrt(5)         19,007
11         15,5      8,5sqrt(5)         19,007
 4,5       18,5      5sqrt(58)          19,039
 7,5       17,5      5sqrt(58)          19,039
 9,5       16,5      5sqrt(58)          19,039
 1,5       19        0,5sqrt(1453)      19,059
13,5       13,5      13,5sqrt(2)        19,092
Tab. 4.3.

Kod: Zaznacz cały

  boki trójkąta prostokątnego       przybliżona długość
                                    przeciwprostokątnej 
 2,5        3          0,5sqrt(61)          3,905
 2          4,5        0,5sqrt(97)          4,924
 3,5        3,5        3,5sqrt(2)           4,950
 3,5        6          0,5sqrt(193)         6,964
 2,5        6,5        0,5sqrt(194)         6,964
 2,5        7,5        2,5sqrt(10)          7,906
 4,5        6,5        2,5sqrt(10)          7,906
 5,5        7          0,5sqrt(317)         8,902
 6,5        7          0,5sqrt(365)         9,925
 3          9,5        0,5sqrt(397)         9,962
 3         10,5        0,5sqrt(477)        10,920
 4,5       10          0,5sqrt(481)        10,966
 7,5        8          0,5sqrt(481)        10,966
 5,5        9,5        0,5sqrt(482)        10,977
 6,5       10          0,5sqrt(569)        11,927
 7,5       10,5        1,5sqrt(74)         12,903
 6         11,5        0,6sqrt(673)        12,971
 3,5       12,5        0,5sqrt(674)        12,987
 8,5       11          0,5sqrt(773)        13,901
 3,5       13,5        0,5sqrt(778)        13,946
 3,5       14,5        0,5sqrt(890)        14,916
 9,5       11,5        0,5sqrt(890)        14,916
 6,5       13,5        0,5sqrt(898)        14,983
11         11,5        0,5sqrt(1013)       15,914
10,5       12          1,5sqrt(113)        15,945
 8,5       13,5        0,5sqr(1018)        15,953
 5,5       15          0,5sqrt(1021)       15,977
 5,5       16          0,5sqrt(1145)       16,919
 9,5       14          0,5sqrt(1145)       16,919
 4         16,5        0,5sqrt(1153)       16,978
11,5       12,5        0,5sqrt(1154)       16,985
10,5       14,5        0,5sqrt(1282)       17,903
 7         16,5        0,5sqrt(1285)       17,923
 9         15,5        0,5sqrt(1285)       17,923
 4         17,5        0,5sqrt(1289)       17,951
11,5       15          0,5sqrt(1429)       18,901
 4         18,5        0,5sqrt(1433)       18,927
 4         19,5        0,5sqrt(1585)       19,906
 8,5       18          0,5sqrt(1585)       19,906
 9,5       18,5        0,5sqrt(1586)       19,912
12,5       15,5        0,5sqrt(1586)       19,912
 7,5       18,5        0,5sqrt(1594)       19,962
10,5       17          0,5sqrt(1597)       19,981 
Tab. 4.4.
Jak poprzednio, można delikatnie naprężać klocki, np. trójkąt o bokach o długościach 8, 11,5 i 0,5sqrt(785) zaokrąglone w dół do 14 wygląda następująco:
Obrazek
Rys. 4.11.
a trójkąt o bokach 3,5, 6, 0,5sqrt(193) zaokrąglone w górę do 7 – następująco:
Obrazek
Rys. 4.12.
Budowa wariantu bez naprężania wymaga zbudowania oddzielnie przeciwprostokątnej, a oddzielnie przyprostokątnych. Dość prosto realizuje się trójkąty prostokątne równoramienne. Skoro można korzystać jedynie z tabeli 4.3 (bo długość faktycznej przeciwprostokątnej musi być większa od zaokrąglenia), zostają trójkąt o bokach 8,5, 8,5 i 8,5sqrt(2) zaokrąglone do 12, trójkąt o bokach 13,5, 13,5 i 13,5sqrt(2) zaokrąglone do 19 oraz większe niewymienione w tabeli. Mniejszy z nich elegancko powstaje w następujący sposób:
Obrazek
Rys. 4.13.
albo tak:
Obrazek
Rys. 4.14.
Tym sposobem, tylko z użyciem trójkąta z dużo większym luzem, więc niewymienionym w tabeli, montuje się narożne okna w 10211, Grand Emporium:
Obrazek
Rys. 4.15.
Występuje tam trójkąt 1,5, 1,5 i 1,5sqrt(2), czyli w przybliżeniu 2,121, a po zaokrągleniu 2.

Budowanie z wariantem bez naprężenia pozostałych trójkątów stanowi trochę większy problem, ponieważ nie ma na środku studa położonego w równej odległości od końców przeciwprostokątnej, więc trzeba metodą prób i błędów szukać punktu zaczepienia lub zaczepiać na jednym z końców:
Obrazek
Rys. 4.16.
Możliwości zaczepiania jest naprawdę wiele:
Obrazek
Rys. 4.17.
Trójkąty prostokątne są jedną z możliwości budowania na ukos, inna to budowanie trójkątów nieprostokątnych i innych układów sztywnych wynikających z tychże figur.

Awatar użytkownika
JAREMA.
VIP
Posty: 712
Rejestracja: 2014-08-12, 21:03
Lokalizacja: Katowice

#2 Post autor: JAREMA. »

Kawał dobrej roboty, zapisuje sobie stronkę i następnym razem zamiast sprawdzać "gdzie stud wypadnie" zajrzę do ściągi. Podziwiam że chciało Ci się to ogarnąć, na pewno skorzystam, pozdrawiam

Awatar użytkownika
Stelario
VIP
Posty: 1795
Rejestracja: 2014-11-30, 19:49
Lokalizacja: z PRLu

#3 Post autor: Stelario »

TLG wymyśliło jeszcze jeden nowy kąt.

[YouTube]http://youtube.com/watch?v=vTjMu68FIpo[/YouTube]
Powiedzmy STOP rasistowskim opiniom na temat kolorów zabawek dla dzieci.

Awatar użytkownika
M_longer
VIP
Posty: 5429
Rejestracja: 2007-09-29, 08:47
Lokalizacja: Lubin
brickshelf: M-longer
Kontakt:

 

#4 Post autor: M_longer »

Doceniam opracowanie, w wolnej chwili przejrzę wszystko dokładnie, ale kilka ciekawych rzeczy wyłapałem.

Awatar użytkownika
--pg--
VIP
Posty: 221
Rejestracja: 2015-07-13, 19:30
Lokalizacja: Kraków

#5 Post autor: --pg-- »

Stelario, bardzo trafny i ciekawy przykład nadający się do części czwartej jako naprężanie klocków, tego nie znałem. Zgodnie z kolorami na filmie: niebieska część powoduje powstanie odległości 22 study między zawiasami, a w taką odległość wpycha się przekątną czerwonego prostokąta o długości 2sqrt(122) studów, bo boki prostokąta mają długość 2 i 22 (wymiary można znaleźć w wierszu piątym od dołu w tabeli 4.1).
Ostatnio zmieniony 2018-08-27, 07:52 przez --pg--, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
noniusz
VIP
Posty: 1073
Rejestracja: 2011-11-23, 21:02
Lokalizacja: Poznań
brickshelf: gkurkowski
Kontakt:

 

#6 Post autor: noniusz »

Owszem, ciekawe opracowanie.

Pamiętam jeszcze, że przy budowaniu podwozia Caterhama Seven 620R trzeba było tu i ówdzie ponaginać prawa matematyki :)

Sam zresztą "oszukiwałem" przy budowaniu 2-giej sekcji wysięgnika przy moim Liebherze, gdzie jest przewężenie z 4 do 2 kropek:
Obrazek

Awatar użytkownika
Stelario
VIP
Posty: 1795
Rejestracja: 2014-11-30, 19:49
Lokalizacja: z PRLu

#7 Post autor: Stelario »

PG wracając do tabelek które tylko przeglądałem ;)
To wydaje mi się że branie pod uwagę tylko trójkąty z plytek o szerokości 1 to tylko część trójkątów jakie możemy zrobić.
Biorąc płytki szerokości 2,4,6 itd. ilość trójkątów jakie możemy zrobić moim zdaniem wzrośnie.ponieważ możemy użyć znacznie więcej punktów "zaczepienia".
Jak kiedyś przysiadę do excela to sobie policzę te wszystkie tabelki.
Powiedzmy STOP rasistowskim opiniom na temat kolorów zabawek dla dzieci.

Awatar użytkownika
--pg--
VIP
Posty: 221
Rejestracja: 2015-07-13, 19:30
Lokalizacja: Kraków

#8 Post autor: --pg-- »

Stelario pisze:Biorąc płytki szerokości 2,4,6 itd. ilość trójkątów jakie możemy zrobić moim zdaniem wzrośnie.ponieważ możemy użyć znacznie więcej punktów "zaczepienia".
Jak kiedyś przysiadę do excela to sobie policzę te wszystkie tabelki.
Obawiam się, że to, o czym myślisz sprowadzi się któregoś z opisanych rozwiązań. Zadaj sobie pytanie, czy chcesz przypinać płytkę o szerokości 2 study leżącą na ukos dwoma studami (albo dwoma zawiasami albo zawiasem i studem) do konstrukcji zbudowanej na płycie bazowej, przypuszczalnie jedno miejsce zaczepienia blisko jednego końca, drugie - blisko drugiego. Wtedy całą taką konstrukcję można pozbawić zbędnych studów i klocków, wracając do tego, co wcześniej. Zrobiłem poglądowy rysunek:
Obrazek
Po lewej stronie trójkąt budowany płytkami szerokimi na 2 study, po prawej: na zielono - wszystko co zbędne, na żółto - trójkąt o bokach o długościach 3, 4, 5 studów. Jeżeli mówisz o tego typu konstrukcjach, wszystko będzie dało się sprowadzić do czegoś, co opisałem w pierwszym poście: czasem wylądowałoby w części pierwszej lub drugiej - jak powyższy rysunek, czasem w części trzeciej - np. wystarczy dobudować przyprostokątne o grubości 2 study w konstrukcji na rysunku 3.7 lub 3.18, a czasem - przy naprężaniu klocków - w części czwartej.

Awatar użytkownika
Johan
VIP
Posty: 914
Rejestracja: 2013-05-28, 08:46
Lokalizacja: Warszawa
brickshelf: Brak
Kontakt:

 

#9 Post autor: Johan »

Bardzo dobre opracowanie, fajnie to wszystko mieć policzone i w jednym miejscu a nie przerywać budowanie bo trzeba policzyć pierwiastki :P

Awatar użytkownika
Stelario
VIP
Posty: 1795
Rejestracja: 2014-11-30, 19:49
Lokalizacja: z PRLu

#10 Post autor: Stelario »

Dokładnie to chodziło o to co zaprezentowałeś w 3.23 ;)
Powiedzmy STOP rasistowskim opiniom na temat kolorów zabawek dla dzieci.

Awatar użytkownika
--pg--
VIP
Posty: 221
Rejestracja: 2015-07-13, 19:30
Lokalizacja: Kraków

#11 Post autor: --pg-- »

To większość trójkątów wypisanych w tabeli 3.1 ma przyprostokątne dłuższe niż 1 stud, co oznacza, że będą budowane z takich płytek, o jakich mówisz.

Jetboy

#12 Post autor: Jetboy »

Zdecydowanie jeden z najbardziej wartościowych postów jakie kiedykolwiek przeczytałem na jakimkolwiek forum o klockach. Brawo!

Jellyeater
VIP
Posty: 2363
Rejestracja: 2014-03-16, 16:34
Lokalizacja: Warszawa
brickshelf: Proszę uzupełnić
Kontakt:

 

#13 Post autor: Jellyeater »

Ile by nie było to i tak jest za mało.
Szacunek do klocków, nienawiść do COBI, tak zostałem wychowany.
foto

Awatar użytkownika
Stelario
VIP
Posty: 1795
Rejestracja: 2014-11-30, 19:49
Lokalizacja: z PRLu

#14 Post autor: Stelario »

Tą tabela jest z ilością studów jakie mają mieć klocki, czy odległości i trzeba sobie dodać +1 samemu? ;)
Powiedzmy STOP rasistowskim opiniom na temat kolorów zabawek dla dzieci.

Jellyeater
VIP
Posty: 2363
Rejestracja: 2014-03-16, 16:34
Lokalizacja: Warszawa
brickshelf: Proszę uzupełnić
Kontakt:

 

#15 Post autor: Jellyeater »

Poprawiłem na długość klocków, czyli jest plus jeden. :-) Dziękuję za celną uwagę.
Ile by nie było to i tak jest za mało.
Szacunek do klocków, nienawiść do COBI, tak zostałem wychowany.
foto

ODPOWIEDZ