Forum LUGPOL Strona Główna Forum LUGPOL
www.lugpol.pl

FAQFAQ  SzukajSzukaj  UżytkownicyUżytkownicy  GrupyGrupy
RejestracjaRejestracja  ZalogujZaloguj

Poprzedni temat «» Następny temat
Trójkąty Pitagorejskie i inne trójkąty prostokątne w LEGO.
Autor Wiadomość
--pg-- 
VIP


Wiek: 35
Dołączył: 13 Lip 2015
Wpisy: 164
Skąd: Kraków
Wysłany: 2018-08-27, 07:34   Trójkąty Pitagorejskie i inne trójkąty prostokątne w LEGO.

Kod:
Zabrałem się za opisanie zastosowania trójkątów Pitagorejskich w budowaniu z LEGO. Tekst się rozrastał w miarę pisania i osiągnął gigantyczną długość. Niewielką część przedstawionych zależności stosowałem w prowadzonych "warsztatach" na wystawach, o czym opowiadam we właściwym momencie. Żeby ułatwić odwoływanie się do tekstu w komentarzach, ponumerowałem cztery główne części oraz wszystkie zdjęcia i tabele. Przez sqrt(x) rozumiem pierwiastek (stopnia drugiego) z liczby x, np. sqrt(25)=5. Miłej lektury!


Niniejszy tekst o trójkątach Pitagorejskich i innych trójkątach prostokątnych budowanych z kocków LEGO może stanowić dla osoby budującej z klocków inspirację do urozmaicenia MOC-y poprzez stabilne budowanie na ukos względem linii wyznaczonych przez study, a dla osób znających możliwości na pograniczu geometrii i klocków – relaksującą lekturę. O matematycznych zagadnieniach opowiem oczywiście w sposób elementarny. Dla urozmaicenia będę podpierał się istniejącymi rozwiązaniami w oryginalnych zestawach LEGO. Zaczynajmy!


1. Najbardziej znana trójka Pitagorejska.

Każdy z nas po edukacji szkolnej jest w stanie wymienić trójkę Pitagorejską: 3, 4, 5, czyli trzy liczby naturalne będące bokami trójkąta prostokątnego, a więc spełniające zależność z twierdzenia Pitagorasa: a^2 + b^2 = c^2. W podanym przykładzie boki o długościach 3 i 4 są przyprostokątnymi, a bok o długości 5 jest przeciwprostokątną. Korzystając z podobieństwa trójkątów, na podstawie podanego przykładu można bez trudu podać nieskończenie wiele układów liczb naturalnych stanowiących długości boków kolejnych trójkątów prostokątnych: powiększając każdy z boków dwa razy, dostaje się trójkąt o bokach 6, 8, 10; po trzykrotnym powiększeniu mamy 9, 12, 15, itd.
Realizacja tych trójkątów klockami systemowymi wygląda następująco:

Rys. 1.1.

a za pomocą LEGO Technic jak poniżej:

Rys. 1.2.

Zwróćmy uwagę, że budowanie trójkąta o bokach o długościach 3, 4, 5 studów wymaga użycia bricków (ewentualnie belek) o długościach 4, 5 i 6 studów z tego względu, że wierzchołek trójkąta wypada na środku studa podczas używania bricka, a w środku otworu podczas używania belki:

Rys. 1.3.

Przeciwprostokątną trójkątów większych od wyjściowego można podeprzeć co pięć studów zarówno w budowie brickami:

Rys. 1.4.

jak i w LEGO Technic:

Rys. 1.5.

co wynika z istnienia następujących trójkątów.

Rys. 1.6.

Obok wspomnianych trójkątów podobnych powstających przez powiększanie wyjściowego trójkąta można zbudować egzotyczny trójkąt o bokach o długościach 1,5, 2 i 2,5 studów, używając tzw. jumpera:

Rys. 1.7.

Realizacja takiego trójkąta wygląda następująco:

Rys. 1.8.

i zawdzięczamy ją możliwości wpięcia do pustego w środku studa znajdującej się na spodzie klocka rurki. W związku z tym można podpierać co kawałek przeciwprostokątną w trójkątach przedstawionych na początku:

Rys. 1.9.


Istnieje jeszcze drugi sposób uzyskania omwianej serii trójkątów, mianowicie za pomocą zawiasów.

Rys. 1.10.

Wierzchołki trójkąta leżą wówczas na środku między czterema studami.

Rys. 1.11.


Geometria trójkąta o bokach o długościach 3, 4, 5 studów występuje również w zgiętych belkach LEGO Technic:

Rys. 1.12abc.

Pierwsza z pokazanych ma ten trójkąt wkomponowany w najbardziej naturalny sposób: gdy część krótszą ułoży się poziomo lub pionowo, część dłuższa będzie stanowić przeciwprostokątną w trójkącie:

Rys. 1.13.


Z trójkątem 3, 4, 5 i z podobnymi do niego spotykamy się w zestawach firmowych, w tym bardzo często w LEGO Technic, gdzie rama musi spięta na sztywno. Trójkąt o bokach o długościach 3, 4, 5 studów odnajdziemy na przykład w:
* przedniej szybie w 42075, Fire Responder:

Rys. 1.14.

* mocowaniu nadkoli do reszty pozajdu w 42079, Heavy Duty Forklift:

Rys. 1.15.

* rusztowaniu z białego płaskiego liftarma pod platformą dla helikoptera w 42064, Ocean Explorer:

Rys. 1.16.

* ułożeniu ukośnego elementu (tile’a o długości 6) na tylnej części skrzydła w 75154, TIE Striker:

Rys. 1.17.


Trójkąt o bokach o długościach 6, 8, 10 studów powstaje przykładowo podczas budowania:
* przedniej szyby w 42069, Extreme Adventure:

Rys. 1.18.

* ukośnego wzmocnienia czarną belką wewnątrz podnoszonego elementu w 42042, Crawler Crane:

Rys. 1.19.

* ukośnych belek po dwóch stronach siłowników podnoszących bom w dźwigach 42009 i 42082:

Rys. 1.20.

Trójkąt o bokach o długościach 9, 12, 15 studów pojawia się w stelażu za siedzeniami w 42056, Porsche 911 GT3 RS:

Rys. 1.21.

Zauważmy, że spięcie dwóch ukośnych części stelaża znajduje się w jednej trzeciej przeciwprostokątnej, co nawiązuje do dyskusji dotyczącej punktów, w których większe trójkąty można podpierać.

Wśród klocków serii Technic znajdziemy jeszcze dwie części zaprojektowane z myślą o omawianych trójkątach. Pierwszą z nich jest następujący panel:

Rys. 1.22.

Odległość między otworami na piny jest równa 5 studów (licząc między środkami otworów), a ułożenie panelu jako przeciwprostokątnej powoduje powstanie zaokrąglonego rogu, np. w spojlerze 42077, Rally Car

Rys. 1.23.


Warto jeszcze zwrócić uwagę na ćwiartkę koła zębatego wprowadzonego w zestawie 42055, Bucket Wheel Excavator:

Rys. 1.24.

Cztery takie koła zębate tworzą okrąg o średnicy 21 studów, a mierząc między środkami otworów – o średnicy 20 studów. Otwory na pin bliższe otworom na oś ułożone są w taki sposób, aby generować trójkąty o bokach o długościach 6, 8, 10 studów, gdzie przeciwprostokątna trójkąta jest jednocześnie promieniem koła zębatego:

Rys. 1.25.

Dzięki temu we wspomnianym zestawie 42055 pierwsze cztery takie klocki można przypiąć do ramy w ośmiu miejscach czarnymi pinami i w czterech miejscach czerwonymi ośkami:

Rys. 1.26.


2. Inne trójkąty Pitagorejskie.

Układ liczb 3, 4, 5 nie jest jedyną pierwotną (czyli w dużym skrócie nieskracalną) trójką Pitagorejska. Kolejne takie układy to:
Kod:
   (3, 4, 5)         (5, 12, 13)         (8, 15, 17)         (7, 24, 25)
(20, 21, 29)        (12, 35, 37)         (9, 40, 41)        (28, 45, 53)
(11, 60, 61)        (16, 63, 65)        (33, 56, 65)        (48, 55, 73)
(13, 84, 85)        (36, 77, 85)        (39, 80, 89)        (65, 72, 97)

Tab. 2.1.

Takich układów jest nieskończenie wiele, w powyższym zestawieniu podano wszystkie, w których największa z liczb jest mniejsza niż 100. Aby wygenerować wszystkie pierwotne trójki Pitagorejskie, do wzorów:
Kod:
a = m^2 - n^2        b = 2*m*n        c = m^2 + n^2

Tab. 2.2.

należy podstawiać liczby całkowite dodatnie m i n, względnie pierwsze (czyli w dużym skrócie nieskracalne), dające sumę nieparzystą, przy czym m ma być większa od n. Przykładowo, układ (3, 4, 5) powstaje po podstawieniu m=2 i n=1, natomiast podstawienie m=5 i n=2 prowadzi do układu (20, 21, 29), przy czym a=21 i b=20. Podstawianie liczb całkowitych dodatnich m i n innych niż opisane (ale z zachowaniem warunku m>n) daje trójki Pitagorejskie niebędące pierwotnymi, np. m=5, n=3 generuje trójkę (16, 30, 34), czyli podwojoną (8, 15, 17).
Budując z klocków LEGO, bierzemy pod uwagę wszystkie trójkąty Pitagorejskie powstające z pierwotnych trójek Pitagorejskich oraz trójkąty do nich podobne powiększone całkowitą lub połówkową liczbę razy. Oto kilka przykładów: na czerwono trójkąt o bokach o długościach 5, 12 i 13 studów; na niebiesko trójkąt o bokach o długościach 16, 30 i 34 studów; na żółto trójkąt o bokach o długościach 10, 10,5 i 14,5 studów (czyli połówka z 20, 21, 29):

Rys. 2.1.

Tak w LEGO Technic wygląda trójkąt o bokach o długościach 12, 35 i 37 studów:

Rys. 2.2.

W końcu na zawiasach mamy trójkąt wynikający z układu (7, 24, 25):

Rys. 2.3.


Takie trójkąty zdarzają się rówież w zestawach LEGO, mianowicie trójkąt o bokach o długościach 5, 12, 13 studów można znaleźć:
* w kolorowym łączeniu kokpitu ze statkiem w 75192, Millennium Falcon:

Rys. 2.4.

* w ukośnym podparciu skrzydeł w 42040, Fire Plane:

Rys. 2.5.


Przypuszczam, że może się przydać tabela pokazująca miary kątów (w stopniach) w tych trójkątach.
Kod:
  trójka                  mniejszy              większy
Pitagorejska              kąt ostry            kąt ostry
(15,112,113)                 7,63                82,37
(13, 84, 85)                 8,80                81,20
(11, 60, 61)                10,39                79,61
(20, 99, 101)               11,42                78,58
(9, 40, 41)                 12,68                77,32
(16, 63, 65)                14,25                75,75
(7, 24, 25)                 16,26                73,74
(12, 35, 37)                18,92                71,08
(5, 12, 13)                 22,62                67,38
(36, 77, 85)                25,06                64,94
(39, 80, 89)                25,99                64,01
(8, 15, 17)                 28,07                61,93
(33, 56, 65)                30,51                59,49
(28, 45, 53)                31,89                58,11
(60, 91, 109)               33,40                56,60
(3, 4, 5)                   36,87                53,13
(48, 55, 73)                41,11                48,89
(65, 72, 97)                42,08                47,92
(20, 21, 29)                43,60                46,40
Tab. 2.3.


Dla porównania kąty w klockach Wedge Plate, miara również w stopniach:
Kod:
        Nazwa kolcka              większy             mniejszy              tangensy
                                 kąt ostry            kąt ostry               kątów
Wedge Plate 3x3                    45,00                45,00                1; 1
Wedge Plate 2x2, left/right        63,43                26,57                2; 1/2
Wedge Plate 3x2, left/right        71,57                18,43                3; 1/3
Wedge Plate 4x2, left/right        75,96                14,04                4; 1/4
Wedge Plate 12x3, left/right       80,54                 9,46                6; 1/6
Wedge Plate 4x9                    84,29                 5,71               10; 1/10

Tab. 2.4.


Tu popełnię małą dygresję, na wystawie w Wolsztynie 2018 i na wystawie w Pszczynie 2018 zapraszałem starsze dzieci zwiedzające wystawę i kilku klubowiczów do budowy trójkątów prostokątnych. W pełnej wersji uczestnik wybierał m oraz n, podstawiał do wzoru, a następnie budował trójkąt prostokątny o obliczonych długościach boków. Sugerowałem branie m większego niż 6, aby ten trójkąt wychodził przyzwoitej wielkości. Gdy trafiła się trochę młodsza osoba, która też chciała wybudować, podawałem wymiary samodzielnie, omijając rachunek.


3. Inne trójkąty prostokątne.

Oczywiście trójkąt prostokątny nie musi mieć wszystkich boków o długościach całkowitych. Klocki LEGO mające rządek studów nie służą do budowania długości niewymiernych, są jednak przypadki, że i takie trójkąty powstają. Najczęściej mamy do czynienia z trójkątami, w których dwa boki mają długość całkowitą – i te boki jesteśmy w stanie zbudować, a jeden niewymierną – i ten bok nie jest fizycznie budowany. Patrząc inaczej na układ studów, można znaleźć szereg liczb niewymiernych:

Rys. 3.1.

Rys. 3.2.

Najprościej do podanej długości niewymiernej dobudować trójkąt w taki sposób, aby powstał deltoid z dwoma kątami prostymi:

Rys. 3.3.

Rys. 3.4.

Można to realizować w bardzo prosty sposób, tutaj na przykładzie trójkąta o bokach o długości 1, 5, sqrt(26) studów:

Rys. 3.5.

Dla niektórych liczb niewymiernych, np. przedstawionej powyżej sqrt(26), jest to jedyna możliwość, inne niewymierne mogą stanowić długość przeciwprostokątnej w dwóch nieprzystających (czyli nieidentycznych) trójkątach. Przykłady takich trójkątów prostokątnych (tj. mających przyprostokątne o długościach całkowitych i przeciwprostokątną o długości niewymiernej) wypisano poniżej:
Kod:
 trójkąt pierwszy         trójkąt drugi          (trójkąt trzeci)
1, 7, 5sqrt(2)          5, 5, 5sqrt(2)
1, 8, sqrt(65)          4, 7, sqrt(65)
2, 9, sqrt(85)          6, 7, sqrt(85)
2, 11, 5sqrt(5)         5, 10, 5sqrt(5)       
3, 11, sqrt(130)        7, 9, sqrt(130)
1, 12, sqrt(145)        8, 9, sqrt(145)
1, 13, sqrt(170)        7, 11, sqrt(170)
4, 13, sqrt(185)        8, 11, sqrt(185)
3, 14, sqrt(205)        6, 13, sqrt(205)
5, 14, sqrt(221)        10, 11, sqrt(221)
9, 13, 5sqrt(10)        5, 15, 5sqrt(10)
3, 16, sqrt(265)        11, 12, sqrt(265)
1, 17, sqrt(290)        11, 13, sqrt(290)
4, 17, sqrt(305)        7, 16, sqrt(305)
1, 18, 5sqrt(13)        6, 17, 5sqrt(13)         10, 15, 5sqrt(13)
7, 17, 13sqrt(2)        13, 13, 13sqrt(2)       
2, 19, sqrt(365)        13, 14, sqrt(365)
3, 19, sqrt(370)        9, 17, sqrt(370)
4, 19, sqrt(377)        11, 16, sqrt(377)
7, 19, sqrt(410)        11, 17, sqrt(410)       
8, 19, 5sqrt(17)        13, 16, 5sqrt(17)        5, 20, 5sqrt(17)
1, 21, sqrt(442)        9, 19, sqrt(442)
2, 21, sqrt(445)        11, 18, sqrt(445)
9, 20, sqrt(481)        15, 16, sqrt(481)
1, 22, sqrt(485)        14, 17, sqrt(485)
3, 22, sqrt(493)        13, 18, sqrt(493)
8, 21, sqrt(505)        12, 19, sqrt(505)
1, 23, sqrt(530)        13, 19, sqrt(530)
2, 23, sqrt(533)        7, 22, sqrt(533)
4, 23, sqrt(545)        16, 17, sqrt(545)
6, 23, sqrt(565)        9, 22, sqrt(565)
7, 23, 17sqrt(2)        17, 17, 17sqrt(2)
9, 23, sqrt(610)        13, 21, sqrt(610)
2, 25, sqrt(629)        10, 23, sqrt(629)
11, 23, 5sqrt(26)       17,19, 5sqrt(26)         5, 25, 5sqrt(26)

Tab. 3.1.


Dzięki równej przeciwprostokątnej w dwóch trójkątach można budować następująco (przykład wykorzystuje pierwszą parę)

Rys. 3.6.

albo następująco:

Rys. 3.7.

W podanych przykładach można jeszcze podpierać klocek ułożony ukośnie w kilku miejscach i odnaleźć trójkąty, o których była mowa w pierwszej części:

Rys. 3.8.

Rys. 3.9.


Wszystko, co zostało opisane, można również zrobić z zawiasami:
* na bazie deltoidu z dwoma kątami prostymi:

Rys. 3.10.

gdzie deltoidy wyglądają następująco:

Rys. 3.11.

* na bazie wspólnej przeciwprostokątnej dwóch nieprzystających trójkątów prostokątnych, tutaj bohaterami są trójkąty z czwartego wiersza z tabeli:

Rys. 3.12.

a tu z szóstego:

Rys. 3.13.


Te same konstrukcje wykonane w LEGO Technic wyglądają dość elementarnie:
* deltoid z dwoma kątami prostymi:

Rys. 3.14.

* wspólna przeciwprostokątna dwóch nieprzystających trójkątów prostokątnych (tutaj bohaterami są trójkąty z czwartego wiersza z tabeli):

Rys. 3.15.


Teraz można pokazać matematycznie, co się stanie, gdy z jednej strony zapniemy zawias, a drugą będziemy próbowali przypiąć do studa. Jedna z realizacji wygląda następująco:

Rys. 3.16.

Dostajemy tu również dwa trójkąty o wspólnej przeciwprostokątnej:

Rys. 3.17.

Zauważmy, że długości przedstawione w tym przykładzie stanowią w tabeli ósmą linię od dołu pomnożoną przez czynnik 1/2. Z tego względu zrobiłem aż tak długą tabelę, bo w tego typu zastosowaniach wzięcie dużych liczb powoduje konstrukcję niedużych rozmiarów. Do każdej innej tego typu konstrukcji należy wziąć jedną linię z tabeli. Jeżeli chcemy budować bez jumperów, trzeba wziąć linię, w której wszystkie cztery liczby całkowite są nieparzyste – wtedy po podzieleniu przez 2 dostatniemy czterokrotnie połówki, jak w powyższym przykładzie.
Wybranie linii z parzystymi liczbami całkowitymi wymusza użycie jumperów lub wpinanie w nietypowe miejsca na spodzie klocka, np. linia z pierwiastkiem 365 po podzieleniu przez 2 daje dwa trójkąty realizowane w następującej konstrukcji:

Rys. 3.18.

Rys. 3.19.


Ten typ łączenia klocków znajduje się na zewnętrznych stronach baterii słonecznych w 75211, Imperial TIE Fighter:

Rys. 3.20.

Wykorzystywane są trójkąty z przeciwprostokątną o długości sqrt(442).

Dla osoby budującej interesujący jest kąt ułożenia ukośnego klocka. Można dowieść ścisłym rozumowaniem matematycznym, że zarówno w przykładach z deltoidami jak i w przykładach z trójkątami prostokątnymi o wspólnej przeciwprostokątnej ułożenie ukośnych klocków jest zawsze pod kątem, który możemy znaleźć w jednym z trójkątów Pitagorejskich.
Bezpośrednia z rachunków w dowodzie wynika, że chcąc poznać miarę kąta w przykładach z deltoidem, należy ustalić długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego i podstawić do wzorów w miejsce m i n podanych w poprzednim podrozdziale. W pierwszym pokazanym przykładzie, dla przypomnienia:

Rys. 3.21.

długości przyprostokątnych są równe 7 i 2, co daje po podstawieniu daje trójkę Pitagorejską (28, 45, 53) i kąty 31,89[o] lub 58,11[o] w zależności, do którego niebieskiego boku mierzyć. Okazuje się, że nie trzeba budować dużego trójkąta zajmującego kilka płyt bazowych, żeby wygenerować kąty tego trójkąta, wystarczy przestrzeń 10 na 6 studów do wygenerowania takiego nachylenia. W szczególności kąt z najprostszego trójkąta Pitagorejskiego występuje we wszystkich ukośnych fragmentach trzech konstrukcji:

Rys. 3.22.

Drugim wnioskiem z dowodu jest następująca tabela wskazująca powstające kąty dla każdej pary trójkątów o wspólnej przeciwprostokątnej. Przed analizowaniem tabeli należy zwrócić uwagę, że każdy układ może powodować powstanie dwóch różnych kątów w zależności od tego, jak oba trójkąty ułożymy, przykładowo dla trójkątów z przeciwprostokątną sqrt(65) można uzyskać dwa ukośne ułożenia:

Rys. 3.23.

Kod:
       długości boków obu trójkątów                trójki Pitagorejskie
                                                 generujące taki sam ukos
1, 7, 5sqrt(2)          5, 5, 5sqrt(2)           (3,4,5)          (3,4,5)
1, 8, sqrt(65)          4, 7, sqrt(65)           (5,12,13)        (3,4,5)
2, 9, sqrt(85)          6, 7, sqrt(85)           (8,15,17)        (3,4,5)
2, 11, 5sqrt(5)         5, 10, 5sqrt(5)          (7,24,25)        (3,4,5)
3, 11, sqrt(130)        7, 9, sqrt(130)          (5,12,13)        (3,4,5)
1, 12, sqrt(145)        8, 9, sqrt(145)          (3,4,5)          (20,21,29)
1, 13, sqrt(170)        7, 11, sqrt(170)         (8,15,17)        (3,4,5)
4, 13, sqrt(185)        8, 11, sqrt(185)         (12,35,37)       (3,4,5)
3, 14, sqrt(205)        6, 13, sqrt(205)         (9,40,41)        (3,4,5)
5, 14, sqrt(221)        10, 11, sqrt(221)        (5,12,13)        (8,15,17)
9, 13, 5sqrt(10)        5, 15, 5sqrt(10)         (7,24,25)        (3,4,5)
3, 16, sqrt(265)        11, 12, sqrt(265)        (28,45,53)       (3,4,5)
1, 17, sqrt(290)        11, 13, sqrt(290)        (3,4,5)          (20,21,29)
4, 17, sqrt(305)        7, 16, sqrt(305)         (11,60,61)       (3,4,5)
1, 18, 5sqrt(13)        6, 17, 5sqrt(13)         (7,24,25)        (5,12,13)
1, 18, 5sqrt(13)        10, 15, 5sqrt(13)        (33,56,65)       (3,4,5)
6, 17, 5sqrt(13)        10, 15, 5sqrt(13)        (16,63,65)       (3,4,5)
7, 17, 13sqrt(2)        13, 13, 13sqrt(2)        (5,12,13)        (5,12,13)
2, 19, sqrt(365)        13, 14, sqrt(365)        (3,4,5)          (48,55,73)
3, 19, sqrt(370)        9, 17, sqrt(370)         (12,35,37)       (3,4,5)
4, 19, sqrt(377)        11, 16, sqrt(377)        (5,12,13)        (20,21,29)
7, 19, sqrt(410)        11, 17, sqrt(410)        (9,40,41)        (3,4,5)
8, 19, 5sqrt(17)        13, 16, 5sqrt(17)        (7,24,25)        (8,15,17)
5, 20, 5sqrt(17)        13, 16, 5sqrt(17)        (36,77,85)       (3,4,5)
5, 20, 5sqrt(17)        8, 19, 5sqrt(17)         (13,84,85)       (3,4,5)
1, 21, sqrt(442)        9, 19, sqrt(442)         (5,12,13)        (8,15,17)
2, 21, sqrt(445)        11, 18, sqrt(445)        (39,80,89)       (3,4,5)
9, 20, sqrt(481)        15, 16, sqrt(481)        (12,35,37)       (5,12,13)
1, 22, sqrt(485)        14, 17, sqrt(485)        (3,4,5)          (65,72,97)
3, 22, sqrt(493)        13, 18, sqrt(493)        (8,15,17)        (20,21,29)
8, 21, sqrt(505)        12, 19, sqrt(505)        (20,99,101)      (3,4,5)
1, 23, sqrt(530)        13, 19, sqrt(530)        (28,45,53)       (3,4,5)
2, 23, sqrt(533)        7, 22, sqrt(533)         (9,40,41)        (5,12,13)
4, 23, sqrt(545)        16, 17, sqrt(545)        (60,91,106)      (3,4,5)
6, 23, sqrt(565)        9, 22, sqrt(565)         (15,112,113)     (3,4,5)
7, 23, 17sqrt(2)        17, 17, 17sqrt(2)        (8,15,17)        (8,15,17)
9, 23, sqrt(610)        13, 21, sqrt(610)        (11,60,61)       (3,4,5)
2, 25, sqrt(629)        10, 23, sqrt(629)        (12,35,37)       (8,15,17)
11, 23, 5sqrt(26)       17, 19, 5sqrt(26)        (7,24,25)        (5,12,13)
5, 25, 5sqrt(26)        11, 23, 5sqrt(26)        (16,63,65)       (3,4,5)
5, 25, 5sqrt(26)        17, 19, 5sqrt(26)        (33,56,65)       (3,4,5)

Tab. 3.2.


Na sam koniec w ramach ciekawostki chciałbym przypomnieć, że w dobrze znanym klocku:

Rys. 3.24.

znajduje się niewymierna długość rozpoznawalna przez wydłużoną dziurę, ukośna część klocka ma mianowicie długość 2sqrt(2), licząc od otworu do otworu.


4. Udawanie trójkąta prostokątnego.

Jeżeli przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają całkowitą długość, a przeciwprostokątna – niewiele większą od pewnej liczby całkowitej, można udawać, że trójkąt da się zbudować, minimalnie naprężając klocki. Jeżeli przyprostokątne mierzą 10 i 15, to przeciwprostokątna ma długość 5sqrt(13), czyli w przybliżeniu 18,028, co można zaokrąglić do 18. Edytor LDD nabiera się w tym przypadku i pozwala połączyć części:

Rys. 4.1.

Poniższa tabela pokazuje długości przyprostokątnych, dla których przeciwprostokątna jest dłuższa od liczby całkowitej o mniej niż 0,1.
Kod:
boki trójkąta prostokątnego   przybliżona długość
                              przeciwprostokątnej
 1        5        sqrt(26)          5,099
 1        6        sqrt(37)          6,083
 1        7        5sqrt(2)          7,071
 5        5        5sqrt(2)          7,071
 1        8        sqrt(65)          8,062
 4        7        sqrt(65)          8,062
 1        9        sqrt(82)          9,055
 1       10        sqrt(101)        10,050
 1       11        sqrt(122)        11,045
 1       12        sqrt(145)        12,042
 8        9        sqrt(145)        12,042
 5       11        sqrt(146)        12,083
 1       13        sqrt(170)        13,038
 7       11        sqrt(170)        13,038
 1       14        sqrt(197)        14,036
 1       15        sqrt(226)        15,033
 1       16        sqrt(257)        16,031
 1       17        sqrt(290)        17,029
 6       16        2sqrt(73)        17,088
 1       18        5sqrt(13)        18,028
 6       17        5sqrt(13)        18,028
10       15        5sqrt(13)        18,028
 1       19        sqrt(362)        19,026
 1       20        sqrt(401)        20,025
 1       21        sqrt(442)        21,024
 9       19        sqrt(442)        21,024
 2       21        sqrt(445)        21,025
11       18        sqrt(445)        21,025
 1       22        sqrt(485)        22,023
14       17        sqrt(485)        22,023
 2       22        2sqrt(122)       22,091
 1       23        sqrt(530)        23,022
13       19        sqrt(530)        23,022
 2       23        sqrt(533)        23,087
 7       22        sqrt(533)        23,087

Tab. 4.1.


Z kolei w tej tabeli znajdziemy długości przyprostokątnych, dla których przeciwprostokątna jest krótsza od liczby całkowitej o mniej niż 0,1.
Kod:
boki trójkąta prostokątnego     przybliżenie długość
                                przeciwprostokątnej
 4         8        4sqrt(5)          8,944
 5        13        sqrt(194)        13,928
12        12        12sqrt(2)        16,971
 6        18        6sqrt(10)        18,974
 6        19        sqrt(397)        19,925
 9        20        sqrt(481)        21,932
15        16        sqrt(481)        21,932

Tab. 4.2.


W takim przypadku również edytor LDD przyzwala na połączenie udające trójkąt 12, 12, 12sqrt(2):

Rys. 4.2.

Jeżeli już decydujemy się na takie rozwiązanie w konstrukcji, najlepiej brać tylko takie trójkąty, w których długość przeciwprostokątnej jak najmniej odbiega od liczby całkowitej.

W zestawach firmowych sporą niespodzianką jest trójkąt tworzący tył kadłuba w 42025, Cargo Plane. Nigdy tych długości nie liczyłem, będąc przekonanym, że jest to któryś z większych trójkątów Pitagorejskich. Nic bardziej mylnego! Kąt prosty i wszystkie boki trójkąta są zrobione sztywno, ale ich długości to 9, 19 i 21 (licząc należycie, czyli między środkami otworów).

Rys. 4.3.

Przeciwprostokątna powinna mieć długość sqrt(442), czyli około 21,024, a nie 21. Mówiąc krótko: w oficjalnym zestawie LEGO zaakceptowano niewielkie (ale jednak) naprężenia. Dla porównania zostawiam jeszcze link do zdjęcia: klik.

Drugim sposobem udawania, tym razem bez naprężeń, jest zbudowanie przeciwprostokątnej o całkowitej długości niepołączonej z wierzchołkami kątów ostrych, gdy prawdziwa przekątna powinna mieć długość nieznacznie dłuższą od budowanej. Na czerwono zbudowano trójkąt o bokach 5, 5, 5sqrt(2), imitując niewymierność liczbą 7, na niebiesko – trójkąt o bokach 1, 9, sqrt(82), zaokrąglając zapisany pierwiastek za pomocą liczby 9:

Rys. 4.4.

Pierwsze z pokazanych przeze mnie rozwiązań spotykamy w narożnych budynkach serii Modular Buildings:
* klasycznie w 10182, Cafe Corner:

Rys. 4.5.

* z ułamkową przerwą przeniesioną na środek na parterze w 10232, Palace Cinema:

Rys. 4.6.

* klasycznie na piętrze w 10232, Palace Cinema:

Rys. 4.7.


Oczywiście udawanie można zrobić również w stylu połączeń z zawiasami. Te same trójkąty, co w poprzednim przykładzie, wyglądają następująco, gdy chcemy, aby narożniki normalnie wpiętych klocków celowały w środek krótszego boku klocka położonego ukośnie:

Rys. 4.8.

Ewentualnie możemy użyć zawiasów, zostawiając szparę tylko z jednej strony.

Rys. 4.9.

Wadą tego drugiego rozwiązania jest tylko jeden, niezbyt stabilny punkt oparcia znajdujący się na końcu ukośnej części.

W lewym budynku 10255, Assembly Square, znajdziemy tego typu rozwiązanie, tylko z jeszcze większą szparą, bo wynikającą z trójkąta o bokach o długościach 3, 3, 3sqrt(2), czyli w przybliżeniu 4,243 zaokrąglane do 4:

Rys. 4.10.


W końcu jumpery pozwalają budować z dokładnością do połowy studa, więc kolejne dwie tabele prezentują dane z trójkątami prostokątnymi, w których przyprostokątne są wielokrotnością połówki (w tym jedna jest niecałkowita, aby nie powtarzać danych z poprzedniej tabeli), a długość przeciwprostokątnej niewiele różni się od liczby całkowitej:
Kod:
  boki trójkąta prostokątnego     przybliżona długość
                                  przeciwprostokątnej
 0,5        2        0,5sqrt(17)         2,062
 0,5        3        0,5sqrt(37)         3,041
 0,5        4        0,5sqrt(65)         4,031
 2          3,5      0,5sqrt(65)         4,031
 0,5        5        0,5sqrt(101)        5,025
 0,5        6        0,5sqrt(145)        6,021
 4          4,5      0,5sqrt(145)        6,021
 2,5        5,5      0,5sqrt(145)        6,042
 0,5        7        0,5sqrt(197)        7,018
 0,5        8        0,5sqrt(257)        8,016
 3          7,5      1,5sqrt(29)         8,078
 0,5        9        2,5sqrt(13)         9,014
 3          8,5      2,5sqrt(13)         9,014
 5          7,5      2,5sqrt(13)         9,014
 0,5       10        0,5sqrt(401)       10,012
 4,5        9        4,5sqrt(5)         10,042
 0,5       11        0,5sqrt(485)       11,011
 7          8,5      0,5sqrt(485)       11,011
 3,5       10,5      3,5sqrt(10)        11,068
 0,5       12        0,5sqrt(577)       12,010
 8,5        8,5      8,5sqrt(2)         12,021
 3,5       11,5      8,5sqrt(2)         12,021
 6         10,5      1,5sqrt(65)        12,093       
 1,5       12        1,5sqrt(65)        12,093
 0,5       13        0,5sqrt(677)       13,010
 1,5       13        0,5sqrt(685)       13,086
 9          9,5      0,5sqrt(685)       13,086
 0,5       14        0,5sqrt(785)       14,009
 8         11,5      0,5sqrt(785)       14,009
 1,5       14        0,5sqrt(793)       14,080
 4         13,5      0,5sqrt(793)       14,080
 6,5       12,5      0,5sqrt(746)       14,089
 7,5       13        0,5sqrt(901)       15,008
 0,5       15        0,5sqrt(901)       15,008
 4         14,5      0,5sqrt(905)       15,042
 5,5       14        0,5sqrt(905)       15,042
 1,5       15        1,5sqrt(101)       15,075
 0,5       16        2,5sqrt(41)        16,008
10         12,5      2,5sqrt(41)        16,008
 4         15,5      2,5sqrt(41)        16,008
 1,5       16        0,5sqrt(1009)      16,070
 0,5       17        0,5sqrt(1157)      17,007
 7         15,5      0,5sqrt(1157)      17,007
 1,5       17        0,5sqrt(1165)      17,066
 9         14,5      0,5sqrt(1165)      17,066
 0,5       18        0,5sqrt(1297)      18,007
12,5       13        0,5sqrt(1301)      18,035
 1,5       18        1,5sqrt(145)       18,062
12         13,5      1,5sqrt(145)       18,062
 4,5       17,5      0,5sqrt(1306)      18,069
 0,5       19        8,5sqrt(5)         19,007
 8,5       17        8,5sqrt(5)         19,007
11         15,5      8,5sqrt(5)         19,007
 4,5       18,5      5sqrt(58)          19,039
 7,5       17,5      5sqrt(58)          19,039
 9,5       16,5      5sqrt(58)          19,039
 1,5       19        0,5sqrt(1453)      19,059
13,5       13,5      13,5sqrt(2)        19,092

Tab. 4.3.


Kod:
  boki trójkąta prostokątnego       przybliżona długość
                                    przeciwprostokątnej
 2,5        3          0,5sqrt(61)          3,905
 2          4,5        0,5sqrt(97)          4,924
 3,5        3,5        3,5sqrt(2)           4,950
 3,5        6          0,5sqrt(193)         6,964
 2,5        6,5        0,5sqrt(194)         6,964
 2,5        7,5        2,5sqrt(10)          7,906
 4,5        6,5        2,5sqrt(10)          7,906
 5,5        7          0,5sqrt(317)         8,902
 6,5        7          0,5sqrt(365)         9,925
 3          9,5        0,5sqrt(397)         9,962
 3         10,5        0,5sqrt(477)        10,920
 4,5       10          0,5sqrt(481)        10,966
 7,5        8          0,5sqrt(481)        10,966
 5,5        9,5        0,5sqrt(482)        10,977
 6,5       10          0,5sqrt(569)        11,927
 7,5       10,5        1,5sqrt(74)         12,903
 6         11,5        0,6sqrt(673)        12,971
 3,5       12,5        0,5sqrt(674)        12,987
 8,5       11          0,5sqrt(773)        13,901
 3,5       13,5        0,5sqrt(778)        13,946
 3,5       14,5        0,5sqrt(890)        14,916
 9,5       11,5        0,5sqrt(890)        14,916
 6,5       13,5        0,5sqrt(898)        14,983
11         11,5        0,5sqrt(1013)       15,914
10,5       12          1,5sqrt(113)        15,945
 8,5       13,5        0,5sqr(1018)        15,953
 5,5       15          0,5sqrt(1021)       15,977
 5,5       16          0,5sqrt(1145)       16,919
 9,5       14          0,5sqrt(1145)       16,919
 4         16,5        0,5sqrt(1153)       16,978
11,5       12,5        0,5sqrt(1154)       16,985
10,5       14,5        0,5sqrt(1282)       17,903
 7         16,5        0,5sqrt(1285)       17,923
 9         15,5        0,5sqrt(1285)       17,923
 4         17,5        0,5sqrt(1289)       17,951
11,5       15          0,5sqrt(1429)       18,901
 4         18,5        0,5sqrt(1433)       18,927
 4         19,5        0,5sqrt(1585)       19,906
 8,5       18          0,5sqrt(1585)       19,906
 9,5       18,5        0,5sqrt(1586)       19,912
12,5       15,5        0,5sqrt(1586)       19,912
 7,5       18,5        0,5sqrt(1594)       19,962
10,5       17          0,5sqrt(1597)       19,981

Tab. 4.4.


Jak poprzednio, można delikatnie naprężać klocki, np. trójkąt o bokach o długościach 8, 11,5 i 0,5sqrt(785) zaokrąglone w dół do 14 wygląda następująco:

Rys. 4.11.

a trójkąt o bokach 3,5, 6, 0,5sqrt(193) zaokrąglone w górę do 7 – następująco:

Rys. 4.12.


Budowa wariantu bez naprężania wymaga zbudowania oddzielnie przeciwprostokątnej, a oddzielnie przyprostokątnych. Dość prosto realizuje się trójkąty prostokątne równoramienne. Skoro można korzystać jedynie z tabeli 4.3 (bo długość faktycznej przeciwprostokątnej musi być większa od zaokrąglenia), zostają trójkąt o bokach 8,5, 8,5 i 8,5sqrt(2) zaokrąglone do 12, trójkąt o bokach 13,5, 13,5 i 13,5sqrt(2) zaokrąglone do 19 oraz większe niewymienione w tabeli. Mniejszy z nich elegancko powstaje w następujący sposób:

Rys. 4.13.

albo tak:

Rys. 4.14.


Tym sposobem, tylko z użyciem trójkąta z dużo większym luzem, więc niewymienionym w tabeli, montuje się narożne okna w 10211, Grand Emporium:

Rys. 4.15.

Występuje tam trójkąt 1,5, 1,5 i 1,5sqrt(2), czyli w przybliżeniu 2,121, a po zaokrągleniu 2.

Budowanie z wariantem bez naprężenia pozostałych trójkątów stanowi trochę większy problem, ponieważ nie ma na środku studa położonego w równej odległości od końców przeciwprostokątnej, więc trzeba metodą prób i błędów szukać punktu zaczepienia lub zaczepiać na jednym z końców:

Rys. 4.16.

Możliwości zaczepiania jest naprawdę wiele:

Rys. 4.17.


Trójkąty prostokątne są jedną z możliwości budowania na ukos, inna to budowanie trójkątów nieprostokątnych i innych układów sztywnych wynikających z tychże figur.
 
 
 
JAREMA. 
VIP


Wiek: 33
Dołączył: 12 Sie 2014
Wpisy: 440
Skąd: Katowice
Wysłany: 2018-08-27, 07:58   

Kawał dobrej roboty, zapisuje sobie stronkę i następnym razem zamiast sprawdzać "gdzie stud wypadnie" zajrzę do ściągi. Podziwiam że chciało Ci się to ogarnąć, na pewno skorzystam, pozdrawiam
 
 
 
Stelario 
VIP


Wiek: 35
Dołączył: 30 Lis 2014
Wpisy: 1619
Skąd: Warszawa
Wysłany: 2018-08-27, 08:18   

TLG wymyśliło jeszcze jeden nowy kąt.

_________________
Powiedzmy STOP rasistowskim opiniom na temat kolorów zabawek dla dzieci.
 
 
 
M_longer 
VIP


Wiek: 30
Dołączył: 29 Wrz 2007
Wpisy: 5124
Skąd: Lubin
Wysłany: 2018-08-27, 08:36   

Doceniam opracowanie, w wolnej chwili przejrzę wszystko dokładnie, ale kilka ciekawych rzeczy wyłapałem.
_________________
m1longer.com
 
 
 
--pg-- 
VIP


Wiek: 35
Dołączył: 13 Lip 2015
Wpisy: 164
Skąd: Kraków
Wysłany: 2018-08-27, 08:51   

Stelario, bardzo trafny i ciekawy przykład nadający się do części czwartej jako naprężanie klocków, tego nie znałem. Zgodnie z kolorami na filmie: niebieska część powoduje powstanie odległości 22 study między zawiasami, a w taką odległość wpycha się przekątną czerwonego prostokąta o długości 2sqrt(122) studów, bo boki prostokąta mają długość 2 i 22 (wymiary można znaleźć w wierszu piątym od dołu w tabeli 4.1).
Ostatnio zmieniony przez --pg-- 2018-08-27, 08:52, w całości zmieniany 1 raz  
 
 
 
noniusz 
VIP
Grzegorz


Wiek: 37
Dołączył: 23 Lis 2011
Wpisy: 974
Skąd: Poznań
Wysłany: 2018-08-27, 21:04   

Owszem, ciekawe opracowanie.

Pamiętam jeszcze, że przy budowaniu podwozia Caterhama Seven 620R trzeba było tu i ówdzie ponaginać prawa matematyki :)

Sam zresztą "oszukiwałem" przy budowaniu 2-giej sekcji wysięgnika przy moim Liebherze, gdzie jest przewężenie z 4 do 2 kropek:
_________________

 
 
 
Stelario 
VIP


Wiek: 35
Dołączył: 30 Lis 2014
Wpisy: 1619
Skąd: Warszawa
Wysłany: 2018-08-27, 21:40   

PG wracając do tabelek które tylko przeglądałem ;)
To wydaje mi się że branie pod uwagę tylko trójkąty z plytek o szerokości 1 to tylko część trójkątów jakie możemy zrobić.
Biorąc płytki szerokości 2,4,6 itd. ilość trójkątów jakie możemy zrobić moim zdaniem wzrośnie.ponieważ możemy użyć znacznie więcej punktów "zaczepienia".
Jak kiedyś przysiadę do excela to sobie policzę te wszystkie tabelki.
_________________
Powiedzmy STOP rasistowskim opiniom na temat kolorów zabawek dla dzieci.
 
 
 
--pg-- 
VIP


Wiek: 35
Dołączył: 13 Lip 2015
Wpisy: 164
Skąd: Kraków
Wysłany: 2018-08-27, 22:40   

Stelario napisał/a:
Biorąc płytki szerokości 2,4,6 itd. ilość trójkątów jakie możemy zrobić moim zdaniem wzrośnie.ponieważ możemy użyć znacznie więcej punktów "zaczepienia".
Jak kiedyś przysiadę do excela to sobie policzę te wszystkie tabelki.


Obawiam się, że to, o czym myślisz sprowadzi się któregoś z opisanych rozwiązań. Zadaj sobie pytanie, czy chcesz przypinać płytkę o szerokości 2 study leżącą na ukos dwoma studami (albo dwoma zawiasami albo zawiasem i studem) do konstrukcji zbudowanej na płycie bazowej, przypuszczalnie jedno miejsce zaczepienia blisko jednego końca, drugie - blisko drugiego. Wtedy całą taką konstrukcję można pozbawić zbędnych studów i klocków, wracając do tego, co wcześniej. Zrobiłem poglądowy rysunek:

Po lewej stronie trójkąt budowany płytkami szerokimi na 2 study, po prawej: na zielono - wszystko co zbędne, na żółto - trójkąt o bokach o długościach 3, 4, 5 studów. Jeżeli mówisz o tego typu konstrukcjach, wszystko będzie dało się sprowadzić do czegoś, co opisałem w pierwszym poście: czasem wylądowałoby w części pierwszej lub drugiej - jak powyższy rysunek, czasem w części trzeciej - np. wystarczy dobudować przyprostokątne o grubości 2 study w konstrukcji na rysunku 3.7 lub 3.18, a czasem - przy naprężaniu klocków - w części czwartej.
 
 
 
Johan 
VIP
Im So Meta, Even This Acronym


Wiek: 26
Dołączył: 28 Maj 2013
Wpisy: 718
Skąd: Warszawa
Wysłany: 2018-08-27, 23:07   

Bardzo dobre opracowanie, fajnie to wszystko mieć policzone i w jednym miejscu a nie przerywać budowanie bo trzeba policzyć pierwiastki :P
 
 
 
Stelario 
VIP


Wiek: 35
Dołączył: 30 Lis 2014
Wpisy: 1619
Skąd: Warszawa
Wysłany: 2018-08-27, 23:44   

Dokładnie to chodziło o to co zaprezentowałeś w 3.23 ;)
_________________
Powiedzmy STOP rasistowskim opiniom na temat kolorów zabawek dla dzieci.
 
 
 
--pg-- 
VIP


Wiek: 35
Dołączył: 13 Lip 2015
Wpisy: 164
Skąd: Kraków
Wysłany: 2018-08-28, 00:10   

To większość trójkątów wypisanych w tabeli 3.1 ma przyprostokątne dłuższe niż 1 stud, co oznacza, że będą budowane z takich płytek, o jakich mówisz.
 
 
 
Jetboy 

Wiek: 46
Dołączył: 29 Sie 2016
Wpisy: 1525
Skąd: Warszawa koło Otwocka
Wysłany: 2018-08-28, 06:39   

Zdecydowanie jeden z najbardziej wartościowych postów jakie kiedykolwiek przeczytałem na jakimkolwiek forum o klockach. Brawo!
 
 
 
Jellyeater 
VIP

Wiek: 34
Dołączył: 16 Mar 2014
Wpisy: 2048
Skąd: Warszawa
Wysłany: 2018-08-28, 11:44   

Stworzyłem tabelę trójek pitagorejskich od 1x1 do 32x32.

https://bricksafe.com/files/Jellyeater/wip/trojki.png

I co 0.5

https://bricksafe.com/files/Jellyeater/wip/trojki2.png
_________________
Ile by nie było to i tak jest za mało.
Szacunek do klocków, nienawiść do COBI, tak zostałem wychowany.
foto
 
 
 
Stelario 
VIP


Wiek: 35
Dołączył: 30 Lis 2014
Wpisy: 1619
Skąd: Warszawa
Wysłany: 2018-08-28, 11:48   

Tą tabela jest z ilością studów jakie mają mieć klocki, czy odległości i trzeba sobie dodać +1 samemu? ;)
_________________
Powiedzmy STOP rasistowskim opiniom na temat kolorów zabawek dla dzieci.
 
 
 
Jellyeater 
VIP

Wiek: 34
Dołączył: 16 Mar 2014
Wpisy: 2048
Skąd: Warszawa
Wysłany: 2018-08-28, 13:08   

Poprawiłem na długość klocków, czyli jest plus jeden. :-) Dziękuję za celną uwagę.
_________________
Ile by nie było to i tak jest za mało.
Szacunek do klocków, nienawiść do COBI, tak zostałem wychowany.
foto
 
 
 
Wyświetl wpisy z ostatnich:   
Odpowiedz do tematu
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich wpisów
Nie możesz usuwać swoich wpisów
Nie możesz głosować w ankietach
Nie możesz załączać plików na tym forum
Możesz ściągać załączniki na tym forum
Dodaj temat do Ulubionych
Wersja do druku

Skocz do:  

phpBB by przemo  
Strona wygenerowana w 0,088 sekundy. Zapytań do SQL: 10